Question

已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，點M是棱AA′的中點，點O是對角線BD′的中點．
（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）求三棱錐M-OBC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接AC，取AC中點K，則K為BD的中點，連接OK，證明MO⊥AA′，MO⊥BD′
OM是異面直線AA′和BD′都相交，即可證明OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；
（Ⅱ）取BB′中點N，連接MN，則MN⊥平面BCC′B′，過點N作NH⊥BC′于H，連接MH，說明∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角，解三角形求二面角M-BC′-B′的大小；
（Ⅲ）利用V_M-OBC=V_M-OA’D’=V_O-MA’D’，求出S_△MA’D’以及O到平面MA′D′距離h，即可求三棱錐M-OBC的體積．
解答：解：（Ⅰ）連接AC，取AC中點K，則K為BD的中點，連接OK
因為M是棱AA′的中點，點O是BD′的中點
所以AM
所以MO

由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因為AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因為OM是異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線
（Ⅱ）取BB′中點N，連接MN，則MN⊥平面BCC′B′
過點N作NH⊥BC′于H，連接MH
則由三垂線定理得BC’⊥MH
從而，∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=BNsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-BC′-B′的大小為arctan2
（Ⅲ）易知，S_△OBC=S_△OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′內
點O到平面MA′D′距離h=
V_M-OBC=V_M-OA’D’=V_O-MA’D’=S_△MA’D’h=
點評：本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數學問題的能力．