Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，過M（1，0）且斜率為

3

的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B．若

AM

=

MB

，則P的值為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：先求出焦點的坐標和準線方程，判斷M為AB的中點，根據A的坐標求出點B的坐標，代入拋物線C 的方程，可求出p的值．

解答：解：由題意可得，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為（

p

2

，0），準線為l：x=-

p

2

．
∵

AM

=

MB

，∴M為AB的中點． 直線方程為 y=

3

（x-1），由題意可得 A（-

p

2

，-

3

2

p-

3

），
故由中點公式可得B（

p

2

+2，

3

2

p +

3

），把點B的坐標代入拋物線C：y²=2px（p＞0）可得

3

4

p2+3p+3=p²+4p，
 解得  p=2，
故選 B．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，判斷M為AB的中點，并據中點公式求得點B的坐標，是解題的難點．