Question

已知函數f（x）=x²+4x+3，
（1）若g（x）=f（x）-cx為偶函數，求c．
（2）用定義證明：函數f（x）在區間[-2，+∞）上是增函數；并寫出該函數的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得g（-x）=g（x），代入可求c
（2）由（1）可得f（x），利用單調性的定義，要證明數f（x）在區間[-2，+∞）上是增函數，只要當-2≤x₁＜x₂ 時有f（x₂）＞f（x₁）即可
故由已證f（x）在[-2，+∞）單調遞增 可得f（x）_min=f（-2）=-1可求
解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-cx=x²+（4-c）x+3為偶函數
∴g（-x）=g（x）
∴（-x）²+（4-c）（-x）+3=x²+（4-c）x+3 …（2分）
∴4-c=-（4-c）     
∴c=4                    …（5分）
（2）證明：設-2≤x₁＜x₂ …（6分）
則f（x₂）-f（x₁）=
=（x₁+x₂）（x₂-x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）…（8分）
∵-2≤x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0且x₁+x₂+4＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
故 f（x）在[-2，+∞）單調遞增                   …（10分）
f（x）_min=f（-2）=-1
所以函數的值域為[-1，+∞）                       …（12分）
點評：本題主要考查了偶函數的定義的應用，函數的單調性的定義在證明（判斷）函數的單調性中的應用，屬于基本知識的簡單的應用