Question

黃山旅游公司為了體現(xiàn)尊師重教，在每年暑假期間對(duì)來(lái)黃山旅游的全國(guó)各地教師和學(xué)生，憑教師證和學(xué)生證實(shí)行購(gòu)買(mǎi)門(mén)票優(yōu)惠．某旅游公司組織有22名游客的旅游團(tuán)到黃山旅游，其中有14名教師和8名學(xué)生．但是只有10名教師帶了教師證，6名學(xué)生帶了學(xué)生證．
（Ⅰ）在該旅游團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持有教師證且持有學(xué)生證者最多1人的概率；
（Ⅱ）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名學(xué)生，設(shè)其中持有學(xué)生證的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，恰有1人持有教師證且持有學(xué)生證者最多1人包括兩種情況，一個(gè)是1名教師有教師證，1名學(xué)生有學(xué)生證，另一個(gè)是1名教師有教師證，0名學(xué)生有學(xué)生證，這兩種情況是互斥的．
（2）由于8名學(xué)生中有6名學(xué)生有學(xué)生證，而又在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名學(xué)生，得到持有學(xué)生證的人數(shù)隨機(jī)變量ξ的可能取值是1、2、3，根據(jù)古典概型公式做出各種結(jié)果，寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）記事件A為“采訪3名游客中，恰有1人持有教師證且持有學(xué)生證者最多1人”，
則該事件分為兩個(gè)事件A₁和A₂，
A₁為“1名教師有教師證，1名學(xué)生有學(xué)生證”；
A₂為“1名教師有教師證，0名學(xué)生有學(xué)生證”．
P(A)=P(A1)+P(A2)=

C 1 10 • C 1 6 • C 1 6

C 3 22

+

C 1 10 • C 2 6

C 3 22

=

3

77

+

5

308

=

17

308

∴在隨機(jī)采訪3人，恰有1人持有教師證且持有學(xué)生證者最多1人的概率

17

308

．

（Ⅱ）由于8名學(xué)生中有6名學(xué)生有學(xué)生證，
∴ξ的可能取值為1，2，3，
則P(ξ=1)=

C 1 6 C 2 2

C 3 8

=

3

28

，
P(ξ=2)=

C 2 6 C 1 2

C 3 8

=

15

28

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 8

=

5

14

，
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

3

28

+2×

15

28

+3×

5

14

=

63

28

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和方差，解題過(guò)程中應(yīng)用古典概型知識(shí)，本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問(wèn)題．