Question

設F₁，F₂分別為橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₂的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F₁到直線l的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的焦距；
（Ⅱ）如果，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）過F₁作F₁⊥l可直接根據直角三角形的邊角關系得到，求得c的值，進而可得到焦距的值．
（Ⅱ）假設點A，B的坐標，再由點斜式得到直線l的方程，然后聯立直線與橢圓方程消去x得到關于y的一元二次方程，求出兩根，再由可得y₁與y₂的關系，再結合所求得到y₁與y₂的值可得到a，b的值，進而可求得橢圓方程．
解答：解：（Ⅰ）設焦距為2c，由已知可得F₁到直線l的距離．
所以橢圓C的焦距為4．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知y₁＜0，y₂＞0，直線l的方程為．
聯立．
解得．
因為．
即．
得．
故橢圓C的方程為．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質．考查考生對橢圓基本性質的理解和認知，橢圓的基本性質是高考的重點內容，每年必考，一定要熟練掌握并能靈活運用．