Question

2012年感動中國十大人物楊善洲的事跡傳遍神州大地，感動了千千萬萬個中華兒女．某退休干部所在家鄉有荒山2200畝，他決定從2012年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝．
（1）若所植樹全部都成活，則到哪一年他可將荒山全部綠化？
（2）若每畝所植樹苗的木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那么全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S，求S的表達式；
（3）若1.2⁸≈4.3，計算S （精確到1立方米）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設植樹n年后可將荒山全部綠化，記2012年初植樹量為a₁，依題意知數列{a_n}是首項a₁=100，公差d=50的等差數列，利用等差數列的求和公式得出關于n的方程，即可求出答案；
（2）由題意得2012年初木材量為2a₁m³，到2019年底木材量增加為2a₁（1.2）⁸m³，2013年初木材量為2a₂m³，到2019年底木材量增加為2a₂（1.2）⁷m³，…2019年初木材量為2a₈m³，到2019年底木材量增加為2a₈×1.2m³．結合錯位相減法求出到2019年底木材總量即可；
（3）直接把給出的1.2⁸≈4.3代入（2）中求出的S計算．
解答：解：（1）設植樹n年后可將荒山全部綠化，記2012年初植樹量為a₁，
依題意知數列{a_n}是首項a₁=100，公差d=50的等差數列，
則100n+=2200，即n²+3n-88=0⇒（n+11）（n-8）=0
∵n∈N^*，∴n=8
∴到2019年初植樹后可以將荒山全部綠化．
（2）2012年初木材量為2a₁m³，到2019年底木材量增加為2a₁（1.2）⁸m³，
2013年初木材量為2a₂m³，到2019年底木材量增加為2a₂（1.2）⁷m³，
…
2019年初木材量為2a₈m³，到2019年底木材量增加為2a₈×1.2m³．
則到2019年底木材總量S=2a₁×1.2⁸+2a₂×1.2⁷+2a₃×1.2⁶+…+2a₈×1.2S=900×1.2+800×1.2²+…+400×1.2⁶+300×1.2⁷+200×1.2⁸----①
1.2S=900×1.2²+800×1.2³+…+400×1.2⁷+300×1.2⁸+200×1.2⁹----②
②-①得0.2S=200×1.2⁹+100×（1.2²+1.2³+…+1.2⁸）-900×1.2
=700×1.2⁹-500×1.2²-900×1.2
=840×1.2⁸-1800．
∴S=4200×1.2⁸-9000；
（3）S=4200×1.2⁸-9000
≈4200×4.3-9000=9060m²
答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060m²；
點評：本題主要考查數列的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解，是中檔題．