Question

【題目】如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別為AB、PC的中點，且．

（1）求證：平面PAD；

（2）求證：面PCD；

（3）若，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）.

【解析】

（1）取CD中點，連結M、N，然后可證明平面平面PAD，進而可得平面PAD；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量可得證得，進而得到結論成立；（3）結合題意求出平面MPC和平面MCD的法向量，先求出兩向量的夾角的余弦值，然后可得所求二面角的正弦值．

證明：（1）取CD中點，連結M、N，

∵N為PC的中點，

∴，

又 平面，平面，

∴平面．

同理平面．

又，

∴平面平面PAD．

∵平面MNO，

∴平面PAD．

（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示．

設，，

則0，，0，，b，，，b，，

∴，b，，b，，

∴，，

∴，．

又，

∴平面PCD．

（3）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

設，則，

則0，，0，，1，，1,，

∴0，，1，，

設平面MPC的法向量y，，

則，取，得.

由題意得平面MCD的法向量0，．

設二面角的平面角為，

則，

∴，

∴二面角的正弦值為．