Question

已知△ABC的三個內角A、B、C所對的三邊分別是a、b、c，平面向量

m

=(1，sin(B-A))，平面向量

n

=（sinC-sin（2A），1）．
（I）如果c=2，C=

π

3

，且△ABC的面積S=

3

，求a的值；
（II）若

m

⊥

n

，請判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（I）根據余弦定理以及c和C的值可求得a²+b²-ab=4，進而根據三角形面積公式求得ab的值，最后聯立方程求得a．
（II）根據）

m

⊥

n

可推斷出sinC-sin2Asin（B-A）=0．化簡整理求得A為90°判斷出三角形為直角三角形或A=B判斷三角形為等腰三角形．

解答：解：（I）由余弦定理及已知條件得a²+b²-ab=4，
∵△ABC的面積等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

．
∴ab=4．
聯立方程組得

a2+b2-ab=4 ab=4

解得a=2，b=2．
∴a=2．
（II）∵

m

⊥

n

，∴sinC-sin2A+sin（B-A）=0．
化簡得cosA（sinB-sinA）=0．
∴csoA=0或sinB-sinA=0．
當cosA=0時，A=

π

2

，
此時△ABC是直角三角形；
當sinB-sinA=0時，即sinB=sinA，
由正弦定理得b=a，
此時△ABC為等腰三角形．
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，三角形形狀的判斷，平面向量的性質等．考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．