Question

已知數列{a_n}滿足：．
（1）求證：?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；
（2）求a₂₀₁₀的末位數字．

Answer 1

【答案】分析：（1）結合題設條件，利用數學歸納法進行證明．
（2）由．知a₂₀₁₀的末位數字是7．
解答：解：（1）當n=1時，a₁=3，
假設n=k時，a_k=4m_k+3，m_k∈N．
當n=k+1時，=
=4T-1=4（T-1）+3，
其中
∴?m_k+1=T-1∈N，使a_k+1=4m_k+1+3．
∴當n=k+1時，結論也成立．
∴?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；（7分）
（2）．
故a₂₀₁₀的末位數字是7．（10分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數學歸納法的解題步驟．