Question

某工廠2010年第一季度生產的A、B、C、D四種型號的產品產量用條形圖表示如圖，現用分層抽樣的方法從中選取50件樣品參加四月份的一個展銷會：
（1）問A、B、C、D型號的產品各抽取多少件？
（2）從50件樣品隨機的抽取2件，求這2件產品恰好是不同型號產品的概率；
（3）從A、C型號的產品中隨機的抽取3件，用ξ表示抽取A種型號的產品件數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據分層抽樣的方法，按比例抽取，依據比例關系算出各類型中應取的件數．
（2）本題屬于古典概率模型的問題，由計數原理算出總的基本事件數與2件產品恰好是不同型號產品這個事件所包含的基本事件數，由古典概率模型公式求出概率．
（3）先求出ξ的分布列，再由公式算出其數學期望值，ξ的值可取0，1，2，3四個數，依次算出相應的概率列出分布列，再求期望．

解答：解：（1）從條表圖上可知，共生產產品有50+100+150+200=500（件），
樣品比為

50

500

=

1

10

所以A、B、C、D四種型號的產品分別取

1

10

×100=10，

1

10

×200=20，

1

10

×50=5，

1

10

×150=15
即樣本中應抽取A產品10件，B產品20件，C產品5件，D產品15件．（3分）
（2）從50件產品中任取2件共有C₅₀²=1225種方法，
2件恰為同一產品的方法數為C₁₀²+C₂₀²+C₅²+C₁₅²=350種，
所以2件恰好為不同型號的產品的概率為1-

350

1225

=

5

7

．（6分）
（3）P(ξ=0)=

C 3 5

C 3 15

=

2

91

P(ξ=1)=

C 1 10 • C 2 5

C 3 15

=

20

91

P(ξ=2)=

C 2 10 • C 1 5

C 3 15

=

45

91

P(ξ=3)=

C 3 10

C 3 15

=

24

91

（10分）
所以ξ的分布列為

Eξ=

20

91

+2×

45

91

+3×

24

91

=2．（12分）

點評：本題考點是離散型隨機變量的期望與方差，涉及到了條形圖的理解，古典概率模型求概率，求分布列與方差，本題涉及知識點較多，綜合性較強．