Question

設有一組圓C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k⁴（k∈N^*）．下列四個命題：
①存在一條定直線與所有的圓均相切；
②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交；
④所有的圓均不經過原點．
其中真命題的代號是

 

（寫出所有真命題的代號）．

Answer 1

分析：根據圓的方程找出圓心坐標，發現滿足條件的所有圓的圓心在一條直線上，所以這條直線與所有的圓都相交，②正確；根據圖象可知這些圓互相內含，不存在一條定直線與所有的圓均相切，不存在一條定直線與所有的圓均不相交，所以①③錯；利用反證法，假設經過原點，將（0，0）代入圓的方程，因為左邊為奇數，右邊為偶數，故不存在k使上式成立，假設錯誤，則圓不經過原點，④正確．

解答：解：根據題意得：圓心（k-1，3k），
圓心在直線y=3（x+1）上，故存在直線y=3（x+1）與所有圓都相交，選項②正確；
考慮兩圓的位置關系，
圓k：圓心（k-1，3k），半徑為

2

k²，
圓k+1：圓心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半徑為

2

（k+1）²，
兩圓的圓心距d=

(k-k+1)2+(3k-3k-3)2

=

10

，
兩圓的半徑之差R-r=

2

（k+1）²-

2

k²=2

2

k+

2

，
任取k=1或2時，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，選項①錯誤；
若k取無窮大，則可以認為所有直線都與圓相交，選項③錯誤；
將（0，0）帶入圓的方程，則有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N*），
因為左邊為奇數，右邊為偶數，故不存在k使上式成立，即所有圓不過原點，選項④正確．
則真命題的代號是②④．
故答案為：②④

點評：本題是一道綜合題，要求學生會將直線的參數方程化為普通方程，會利用反證法進行證明，會利用數形結合解決實際問題．