Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點.

（1）求證：平面AED⊥平面A₁FD₁；

（2）在AE上求一點M，使得A₁M⊥平面ADE.

Answer 1

(1)證明略 (2) 當=時，A₁M⊥平面ADE

解析:

  建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz，

不妨設正方體的棱長為2，

則A（2，0，0），E（2，2，1），

F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），

設平面AED的法向量為n₁=（x₁，y₁，z₁），

則n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，0，0）=0，

n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，2，1）=0，

∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.

令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),

同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).

∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,

∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

（2）解  由于點M在直線AE上，

設==（0，2，1）=（0，2，）.

可得M（2，2，），∴=（0，2，-2），

∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，

只需A₁M⊥AE，

∴·=（0，2，-2）·（0，2，1）=5-2=0，

解得=.

故當=時，A₁M⊥平面ADE.