Question

若一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為（　　）

• A．

  π

  2

• B．

  3 π

  3

• C．

  2 π

  3

• D．4π

Answer 1

分析：根據圓錐的母線長等于側面展開圖的半圓的半徑，由半圓面的面積求出弧圓錐母線長，由半圓弧長等于圓錐的底面周長求出圓錐的底面半徑，在由圓錐的高、底面半徑和母線圍成的直角三角形中利用勾股定理求圓錐的高，則圓錐的體積可求．

解答：解：設圓錐的底面半徑為r，母線長為l．如圖，
由圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，得

1

2

πl2=2π，
所以l=2．
又半圓的弧長為πl，圓錐的底面周長為2πr，
所以πl=2πr，得r=

1

2

l=

1

2

×2=1．
所以圓錐的高h=SO=

SA2-OA2

=

22-12

=

3

．
所以圓錐的體積為

1

3

πr2h=

1

3

π•1•

3

=

3 π

3

．
故選B．

點評：本題考查了圓錐的結構特征，考查圓錐體積的計算，解答此題的關鍵是熟練掌握圓錐的母線長及底面周長與展開圖之間的關系，是基礎題