Question

點A、B在橢圓=1上，O為原點，OA⊥OB.

(1)求證：為定值；

(2)求△AOB面積的最大值和最小值.

Answer 1

思路解析：此題看起來與極坐標方程沒有什么關系,但是當把橢圓方程化為極坐標方程后,就可以發現OA與OB長度的關系了；在△AOB中利用正弦定理的面積公式也容易找到其面積的最大值和最小值.

(1)證明：橢圓半長軸長為a,半短軸長為b,以O為極點,長軸一端與點O的射線為極軸,建立坐標系,將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入橢圓方程,得b²ρ²cos²θ+a²ρ²sin²θ=a²b².

∴ρ²=

即ρ²=.設OA的極角為α,則OB的極角為+α.

∴.

∴為定值.

(2)解：設A的極坐標為(ρ₁,θ),則B(ρ₂,θ+).點A、B滿足方程ρ₁²=,ρ₂²=.∵OA⊥OB,∴S_△OAB=ρ₁ρ₂.

而ρ₁²ρ₂²=,

這里ρ₁ρ₂與ρ₁²ρ₂²同時取得最大值和最小值.

故當sin2θ=0時,ρ₁²ρ₂²有最大值,ρ₁ρ₂有最大值,

(S_△OAB)_max=·=；

當sin2θ=±1時,ρ₁²ρ₂²有最小值,ρ₁ρ₂有最小值,

(S_△OAB)_min=·=.