Question

已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，又有函數(shù)g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，θ∈[0，]，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f[g（θ）]＞0}．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）求M∩N．

Answer 1

解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)且f（1）=0，∴f（-1）=-f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)，
故f（x）＞0的解集為{x|x＜-1或0＜x＜1}，
（2）由（1）知N={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
∴M∩N={m|g（θ）＜-1}，
由g（θ）＜-1，得（2-cosθ）m＞2-cos²θ，即，
∵，∴2-cosθ∈[1，2]，
∴，等號成立時(shí)．
故4-]的最大值是．
從而，即．
分析：（1）由函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性可判斷在（-∞，0）上的單調(diào)性，再根據(jù)f（-1）=f（1）=0可解得不等式；
（2）由（1）知N={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，知M∩N={m|g（θ）＜-1}，由g（θ）＜-1，分離出m后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可；
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性的綜合應(yīng)用、不等式的求解，解抽象不等式往往運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決．