Question

已知y=f（x）滿足f（n-1）=f（n）-lga^n-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在實數α、β使f（n）=（αn²+βn-1）lga對任何n∈N*都成立，證明你的結論．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數學歸納法，要討論是否存在實數α、β使f（n）=（αn²+βn-1）lga對任何n∈N*都成立，我們先要根據“湊配”法解抽象函數的方法，求出對應的α、β，再利用數學歸納法進行證明．

解答：解：∵f（n）=f（n-1）+lga^n-1，令n=2，
則f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0．
又f（1）=-lga，
∴

α+β=0 2α+4β=1

∴

α= 1 2 β=- 1 2

∴f（n）=（

1

2

n²-

1

2

n-1）lga．
證明：（1）當n=1時，顯然成立．
（2）假設n=k時成立，即f（k）=（

1

2

k²-

1

2

k-1）lga，
則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+lga^k=f（k）+klga=（

1

2

k²-

1

2

k-1+k）lga=[

1

2

（k+1）²-

1

2

（k+1）-1]lga．
∴當n=k+1時，等式成立．
綜合（1）（2）可知，存在實數α、β且α=

1

2

，β=-

1

2

，使f（n）=（αn²+βn-1）lga對任意n∈N*都成立．

點評：認證問題是高考中難度較大的問題，我們一般的處理方法是，先用特殊值代入等方法求出滿足條件的參數的值，再利用數學歸納法等對其進行嚴謹的論證，最后得到題目要求的結論．