Question

已知二次函數y=f（x）的圖象為開口向下的拋物線，且對任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．若向量

a

=（

m

，-1），

b

=（

m

，-2），則滿足不等式f（

a

•

b

）＞f（-1）的m的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由已知中二次函數y=f（x）的圖象為開口向下的拋物線，且對任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．我們可以判斷函數的圖象是以x=1為對稱軸，開口方向朝下的拋物線，再由向量

a

=（

m

，-1），

b

=（

m

，-2），結合 二次函數的性質和向量數量積運算，我們可以得到一個關于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．

解答：解：∵對任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．
故函數的對稱軸為x=1，
∵

a

=（

m

，-1），

b

=（

m

，-2），
∴

a

•

b

=m+2
若f（

a

•

b

）＞f（-1）
則|m+2-1|＜|-1-1|
解得-3＜m＜1
又由m≥0得
0≤m＜1
故答案為：[0，1）

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，絕對值不等式的解法，平面向量的數量積的運算，其中根據二次函數的性質和向量數量積運算，我將不等式f（

a

•

b

）＞f（-1）轉化為一個關于m的不等式，是解答本題的關鍵．