Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點．
（i）無論直線l繞點F₂怎樣轉動，在x軸上總存在定點M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實數m的值．
（ii）過P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據雙曲線的定義，可判斷所求軌跡為雙曲線的右支，再分別求出雙曲線中的a，b的值，就可得到軌跡E的方程．
（2）（i）先設出直線l的點斜式方程，根據l與軌跡E交于P、Q兩點求出斜率k的范圍．設出點P，Q的坐標，因為MP⊥MQ恒成立，所以恒有，再把用含P，Q．M點坐標的式子表示，根據即可求出m的值，在驗證若直線l的斜率k不存在時，m的值仍然成立．
（ii）方法一：先判斷是雙曲線的右準線，利用雙曲線的第二定義，把|PA|+|QB|用|PQ|表示，再用弦長公式計算|PQ|的長度，得到用P，Q橫坐標表示的PA|+|QB|，|AB|也用A，B點的橫坐標表示，這樣中就可消掉
x₁，x₂，得到λ用含k的式子表示，再根據前面求出的k的范圍，求出λ的范圍即可．
方法二：和方法一類似，先把|PA|+|QB|用|PQ|表示，這樣就可用直線PQ的傾斜角的三角函數表示，再根據前面求出的直線l的斜率k的范圍求出傾斜角的范圍即可．
解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，由c=2，2a=2，
∴b²=3，故軌跡E的方程為．
（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與雙曲線方程聯立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴
解得k²＞3
（i）∵
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=
=．
∵MP⊥MQ，
∴，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對任意的k²＞3恒成立，
∴．
∴當m=-1時，MP⊥MQ．
當直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知結論也成立，
綜上，當m=-1時，MP⊥MQ．
（ii）∵a=1，c=2，
∴是雙曲線的右準線，
由雙曲線定義得：|PA|=，
方法一：∴=．
∵k²＞3，∴，
注意到直線的斜率不存在時，，
綜上，．
方法二：設直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點，
∴，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則，
∴．
由，
故：．
點評：本題主要考查了定義法求軌跡方程，以及直線與雙曲線相交位置關系的判斷，弦長公式的應用．