Question

已知函數f（x）=x³-ax+b在x=2處取得極值為-8．
（1）求a，b的值；
（2）當x∈[-3，3]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-a，
根據題意得：f′（2）=12-a=0①，f（2）=8-2a+b=-8②．
聯立①②解得a=12，b=8．
所以a=12，b=8．
（2）由（1）知：f（x）=x³-12x+8，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
令f′（x）=0得x=±2，
當x＜-2或x＞2時，f′（x）＞0，當-2＜x＜2時，f′（x）＜0，
所以當x=-2時f（x）取得極大值，f（-2）=24，當x=2時f（x）取得極小值，f（2）=-8．
又f（-3）=17，f（3）=-1，
所以當x∈[-3，3]時，f_max（x）=24，f_min（x）=-8．
所以所求函數值域為：[-8，24]．
分析：（1）由題意可得f′（2）=0，f（2）=-8，聯立方程組即可求得a，b；
（2）由（1）可求得f（x），f′（x），利用導數即可求得函數在x∈[-3，3]時的最大值、最小值，從而求得值域；
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件及函數在閉區間上的最值求解，屬中檔題，f′（x₀）=0是可導函數f（x）在x₀處取得極值的必要非充分條件．