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精英家教網(wǎng)已知中心在原點O,焦點在x軸上,離心率為
3
2
的橢圓過點(
2
2
2
).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P,Q兩點,滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出橢圓的方程,將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個參數(shù)的等式,解方程組求出a,b,c的值,代入橢圓方程即可.
(2)設(shè)出直線的方程,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去x得到關(guān)于y的二次方程,利用韋達定理得到關(guān)于兩個交點的坐標的關(guān)系,將直線OP,PQ,OQ的斜率用坐標表示,據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列,列出方程,將韋達定理得到的等式代入,求出k的值,利用判別式大于0得到m的范圍,將△OPQ面積用m表示,求出面積的范圍.
解答:解:(1)由題意可設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),則
c
a
=
3
2
2
a2
+
1
2b2
=1
a=2
b=1

所以,橢圓方程為
x2
4
y2=1

(2)由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
y=kx+m
x2
4
+y2=1
消去y得
(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
則△=64k2b2-16(1+4k2b2)(b2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
x1+x2=
-8km
1+4k2
x1x2=
4(m2-1)
1+4k2

故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
因為直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,
所以
y1
x1
y2
x2
=
k2x1x2+km(x1+x2)+m2 
x1x2
=k2
-8k2m2
1+4k2
+m2=0,又m≠0,
所以k2=
1
4
,即k=±
1
2

由于直線OP,OQ的斜率存在,且△>0,得
0<m2<2且m2≠1.
設(shè)d為點O到直線l的距離,
則S△OPQ=
1
2
d|PQ|=
1
2
|x1-x2||m|=
m2(2-m2)

所以S△OPQ的取值范圍為(0,1).
點評:求圓錐曲線的方程,一般利用待定系數(shù)法;解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,一般設(shè)出直線方程,將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到關(guān)于一個未知數(shù)的二次方程,利用韋達定理,找突破口.注意設(shè)直線方程時,一定要討論直線的斜率是否存在.
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(本小題滿分14分) 已知在平面直角坐標系xoy中的一個橢圓,它的中心在原

點,左焦

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;

(3)過原點O的直線交橢圓于點B、C,求△ABC面積的最大值。

 

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