Question

橢圓的左、右焦點分別是F₁，F₂，過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數列．
（1）求證：；
（2）若直線l的斜率為1，且點（0，-1）在橢圓C上，求橢圓C的方程．

Answer 1

（1）證明：由題設，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數列，∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由橢圓定義|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
所以，．
（2）解：由點（0，-1）在橢圓C上，可設橢圓C的方程為，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+1）y²-2cy-1=0，（*）
則=，
于是有，
解得，故橢圓C的方程為．
分析：（1）利用等差數列的性質，結合橢圓的定義，即可證得結論；
（2）設出橢圓的方程，直線方程與橢圓方程聯立，計算|AB|，利用（1）的結論，即可求得橢圓的標準方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，解題的關鍵是利用橢圓的定義求弦長．