Question

已知某四棱錐，底面是邊長為2的正方形，且俯視圖如圖所示．
（1）若該四棱錐的左視圖為直角三角形，則它的體積為

 

；
（2）關于該四棱錐的下列結論中：
①四棱錐中至少有兩組側面互相垂直；
②四棱錐的側面中可能存在三個直角三角形；
③四棱錐中不可能存在四組互相垂直的側面．
所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：（1）根據四棱錐的俯視圖得到四棱錐的特征，根據四棱錐的左視圖為直角三角形，得到四棱錐的高即可求出它的體積；
（2）根據四棱錐的俯視圖得到側棱之間的關系，然后分別討論即可．

解答：解：（1）由四棱錐的俯視圖可知，該四棱錐底面為ABCD為正方形，PO垂直于BC于點O，其中O為BC的中點，
若該四棱錐的左視圖為直角三角形，
則△BPC為直角三角形，且為等腰直角三角形，
∵B0=1，
∴PO=BO=1，
則它的體積為

1

3

×2×2×1=

4

3

；
（2）由四棱錐的直觀圖可知，PO⊥面ABCD，
則PO⊥AB，PO⊥CD，
又AB⊥BC，
CD⊥BC，
∴AB⊥面PBC，CD⊥面PBC，
∴面ABC⊥面PBC，
面PCD⊥面PBC，∴①正確．
⊥⊥⊥
②由①知，側面ABP和PCD為直角三角形，
當BP⊥PC時，△PBC為直角三角形，∴側面可能存在三個直角三角形，∴②正確．
③若四個側面互相垂直，則由四個側面圍成的幾何體為柱體，不可能是錐體，∴③錯誤．
故答案為：

4

3

；①②③．

點評：本題主要考查三視圖的識別和應用以及錐體的體積的計算，考查線面垂直和面面垂直的判斷，考查學生的推理能力．