Question

已知以角B為鈍角的△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

m

=(a，  2b)，

n

=(

3

，  -sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA-

3

cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過向量的垂直，以及正弦定理求出B的正弦值，然后求出B．
（2）求出sinA-

3

cosC的表達式，結合C的范圍，求出表達式的范圍即可．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

．∴

m

•

n

=0，得

3

a-2bsinA=0（2分）
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，
代入得：

3

sinA-2sinBsinA=0，sinA≠0，
∴sinB=

3

2

，B為鈍角，
所以角B=

2π

3

．
（2）∵sinA-

3

cosC=-2sin(C+

π

3

)，
由（1）知 C∈(0，

π

3

)，C+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(C+

π

3

)∈(

3

2

，1]，
故sinA-

3

cosC的取值范圍是[-1，-

3

2

)（12分）

點評：本題考查向量的數量積的應用，三角函數的值域的求法，正弦定理的應用，考查計算能力．