Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，頂點B₁到對角線BD₁和到平面A₁BCD₁的距離分別為h和d，則下列命題中正確的是（ ）
A．若側棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為（0，1）
B．若側棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為
C．若側棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為
D．若側棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為

Answer 1

【答案】分析：設底面邊長為1，側棱長為λ，過B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B，Rt△BB₁D₁中可知B₁D₁和B₁D，進而利用三角形面積公式求得h，設在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，進而可推斷BC⊥平面AA₁B₁B，BC⊥B₁G，B₁G⊥平面AB₁CD₁，可知B₁G為點到平面A₁BCD₁的距離，Rt△A₁B₁B中，又由三角形面積關系得d，進而可知的表達式，根據λ來確定其范圍．
解答：解：設底面邊長為1，側棱長為λ（λ＞0），
過B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B．
在Rt△BB₁D₁中，，
由三角形面積關系得：

設在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，
所以BC⊥平面AA₁B₁B，于是BC⊥B₁G，
所以B₁G⊥平面AB₁CD₁，
故B₁G為點到平面A₁BCD₁的距離，
在Rt△A₁B₁B中，又由三角形面積關系得
于是，
于是當λ＞1，所以，
所以；
故選C．
點評：本題主要考查了點到面得距離計算．點到平面的距離是近兩年高考的一個熱點問題，平時應注意強化訓練．