Question

過點P(2,1)作直線l,與x、y軸的正半軸分別交于A、B兩點,要使|PA|·|PB|最小,求直線l的方程.

Answer 1

x+y-3=0.

解析:

解法一:設所求直線l的方程為y-1=k(x-2)(k＜0).

則點A、B的坐標分別為(,0)和(0,1-2k).

|PA|=

=-,|PB|=.

所以|PA|·|PB|=.

設=m(*).則2k²+mk+2=0.

因為Δ=m²-16≥0,

所以m≥4或m≤-4.

因為m＞0,所以m最小值為4.代入(*)式得

2k²+4k+2=0,即k=-1.

所以所求直線的方程為y-1=-(x-2),

即x+y-3=0.

解法二:由條件k＜0,且由解法一得

|PA|·|PB|=.

此時,即k²=1.

因為k＜0,所以k=-1.

故所求l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.

解法三:設直線l的傾斜角為α,則

|PA|=,.

所以|PA|·|PB|=.

因為90°＜α＜180°,

所以當2α=270°,即α=135°時,|PA|·|PB|有最小值.

所以l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.