Question

已知函數y=f（x）=sin²x+sinx•cosx+cos2x
（Ⅰ）求y=f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數y=f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）用三角函數的二倍角公式與和正弦的和差角公式將函數化簡，然后再根據化簡后的解析式利用相關公式求周期．
（II）由（I）的解析式，結合三角函數的單調性求函數在x∈[0，

π

2

]上的代值域即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意
y=f(x)=sin2x+sinx•cosx+cos2x=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x+cos2x（2分）=

1

2

(cos2x+sin2x)+

1

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

1

2

（4分）
∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

（5分）
∴y=f（x）的最小正周期T=π．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴y=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

由x∈[0，

π

2

]得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，（8分）
所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]（10分）
從而f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]（11分）
即函數y=f（x）的取值范圍是[0，

1+ 2

2

]（12分）

點評：本題考查三角函數恒等變換化簡函數解析式及利用求周期的公式求周期，以及根據三角函數的單調性求三角函數的值域，屬于三角函數的基礎題，考查的知識點點相當全面，知識性較強．