Question

（本小題滿分14分）如圖：直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是邊長為2a的菱形，∠BAD=60⁰，E為AB中點，二面角A₁-ED-A為60⁰
（I）求證：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求點C₁到平面A₁ED的距離。

Answer 1

（I）同解析，（II）二面角A₁-ED-C₁的余弦值為（III）點C₁到平面A₁ED的距離為（

解：（I）證明：連結BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60⁰，∴△ABD為正三角形，
∵E為AB的中點，∴ED⊥AB （1分）
在直六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，∵ED面ABCD∴ED⊥面ABB₁A₁（3分）
∴平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁（4分）
（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB₁A₁∵A₁E面ABB₁A₁∴A₁E⊥ED
又在直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AA₁⊥面ABCD，
由三垂線定理的逆定理知：AE⊥ED，∴∠A₁EA=60⁰（5分）
取BB₁的中點F，連EF．AB₁，則EF，在直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB₁DC₁∴EF∴E．F．C₁、D四點共面（6分）
∵ED⊥面ABB₁A₁且EF面ABB₁A₁
∴EF⊥ED∴∠A₁EF為二面角A₁-ED-C₁的平面角（7分）
在Rt△A₁AE中：，
在Rt△EBF中：，
在Rt△A₁B₁F中：
∴在Rt△A₁EF中：，∴二面角A₁-ED-C₁的余弦值為（9分）
（III）過F作FG⊥A₁E交A₁E于G點∵平面A₁ED⊥面ABB₁A₁
且平面A₁ED∩面ABB₁A₁=A₁E∴FG⊥平面A₁ED，
即：FG是點F到平面A₁ED的距離（11分）
在Rt△EGF中：∴
∴（13分）
∵EF且E．D∈面A₁ED∴點C₁到平面A₁ED的距離為（14分）