Question

自主招生是高校在高考前爭搶優等生的一項重要舉措，不少同學也把自主招生當作高考前的一次鍛煉．據參加自主招生的某同學說，某高校2012自主招生選拔考試分為初試和面試兩個階段，參加面試的考生按照抽簽方式決定出場順序．通過初試，選拔出甲、乙等五名考生參加面試．
（1）求面試中甲、乙兩名考生恰好排在前兩位的概率；
（2）求面試中甲、乙兩名考生不相鄰的概率；
（3）若面試中甲和乙之間間隔的考生數記為X，求X的分布列．

Answer 1

分析：（1）確定基本事件總數，再確定甲、乙兩考生恰好排在前兩位的基本事件數，即可求得概率；
（2）設“甲、乙兩名考生不相鄰”為事件B，再確定事件B的基本事件數，即可求得概率；
（3）確定X的可能取值，求出相應的概率，即可得到X的分布列和數學期望．

解答：（1）設“甲、乙兩考生恰好排在前兩位”為事件A，則P(A)=

A 2 2 A 3 3

A 3 5

=

1

10

…（3分）
（2）設“甲、乙兩名考生不相鄰”為事件B，則P(B)=

A 3 3 A 2 4

A 5 5

=

3

5

…（3分）
（3）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3P(X=0)=

A 2 2 A 4 4

A 5 5

=

2

5

，P(X=1)=

A 1 3 A 2 2 A 3 3

A 5 5

=

3

10

，P(X=2)=

A 2 2 A 2 3 A 2 2

A 5 5

=

1

5

，P(X=3)=

A 2 2 A 3 3

A 5 5

=

1

10

…（10分）
隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	2 5	3 10	1 5	1 10

．…（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．