Question

已知正項等比數列{a_n}中，a₁=2，a₃=8．數列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=

5

2

n2+

3

2

n．
（1）求a_n，b_n；
（2）若a_n≥b_n+c對一切n∈N^*都成立，求c的最大值；
（3）把數列{a_n}與{b_n}中相同的項按從小到大的順序排成一列，記數列{c_n}，求滿足c_n＞2012的最小正整數n的值．

Answer 1

分析：（1）先確定正項等比數列的公比，可得a_n，利用n≥2時，b_n=S_n-S_n-1，可求b_n；
（2）由題意得：2ⁿ≥5n-1+c對一切n∈N^*都成立，所以c≤2ⁿ-5n+1對一切n∈N^*都成立，令d_n=2ⁿ-5n+1，可得d_n+1-d_n，確定單調性，即可求得c的最大值；
（3）確定數列{c_n}的通項，即可求滿足c_n＞2012的最小正整數n的值．

解答：解：（1）正項等比數列{a_n}中，a₁=2，a₃=8，∴q=2，∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．…（2分）
當n=1時，b₁=S₁=1；
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=5n-1；
∴b₁也滿足b_n=5n-1．
綜上，b_n=5n-1．…（4分）
（2）由題意得：2ⁿ≥5n-1+c對一切n∈N^*都成立，
所以，c≤2ⁿ-5n+1對一切n∈N^*都成立，
令d_n=2ⁿ-5n+1，所以d_n+1-d_n=2ⁿ-5，…（7分）
當n≤2時，d_n+1＜d_n，{d_n}為遞減數列，即d₁＞d₂＞d₃；
當n≥3時，d_n+1＞d_n，{d_n}為遞增數列，即d₃＜d₄＜d₅＜…（9分）
所以d_n最小值為d₃=-6，
所以c≤-6，即c的最大值為-6..…（11分）
（3）a1=2，a2=22，a3=23，a4=24，…
b₁=4，b₂=9，b₃=14，b₂=19…
∴數列{a_n}與{b_n}中相同的項按從小到大的順序排成一列為數列{c_n}，即
c1=4=22，c2=64=26，c3=210，c4=214，…
∴c3=210＜2012，c4=214＞2012，
所以滿足c_n＞2012的最小正整數n的值為4．…（16分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的通項，考查數列的單調性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題，難度較大，綜合性強．