Question

我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目標出現于地面點B處時，測得∠BCD=30°，∠BDC=15°（如圖所示）．求炮兵陣地到目標的距離（結果保留根號）．

Answer 1

分析：在△ACD中，依題意可求得，∠CAD，利用正弦定理求得BD的長，進而在△ABD中，利用勾股定理求得AB．

解答：解：在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°，CD=6000，∠ACD=45°，
根據正弦定理有AD=

CDsin45°

sin60°

=

2 3

CD，
同理，在△BCD中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°，CD=6000，∠BCD=30°，
根據正弦定理有BD=

CDsin30°

sin135°

=

2

2

CD．
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
根據勾股定理有AB=

AD2+BD2

=

2 3 + 1 2

CD=

42

6

CD=1000

42

．
所以炮兵陣地到目標的距離為1000

42

米．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．利用了正弦定理和余弦整體定理，完成了邊角的問題的互化．