Question

已知：如圖，矩形ABCD中點G為BC延長線上一點，連接DG，BH⊥DG于H，且GH=DH，點E，F分別在AB，BC上，且EF∥DG．
（1）若AD=3，CG=2，求DG的長；
（2）若GF=AD+BF，求證：EF=

1

2

DG．

Answer 1

分析：（1）判斷△BHG∽△DCG通過AD=3，CG=2，GH=DH，即可求DG的長；
（2）（2）由GF=AD+BF，AD=BG，經過線段代換易得GC=2BF，再由EF∥DG得到∠BFE=∠CGD，根據三角形相似的判定易得Rt△BEF∽Rt△GDC，利用相似比即可得到結論．

解答：解：（1）在△BHG與△DCG中，因為∠BGH=∠DGC，BH⊥DG，DC⊥BG，
所以△BHG∽△DCG，AD=3，CG=2，BG=5，GH=DH，
所以

CG

HG

=

DG

BG

，∴DG=2

5

．
DG的長為2

5

；
（2）證明：∵GF=AD+BF，
∴FC+GC=BF+FC+BF，即GC=2BF，
∵EF∥DC，
∴∠BFE=∠GCD
∴Rt△BEF∽Rt△GDC，
∴EF：DG=BF：GC=1：2，
∴EF=

1

2

DG．

點評：本題考查了直角梯形的性質：有一組對邊平行，另一組對邊不平行，且有一個直角．也考查了矩形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定與性質．