Question

關(guān)于x的方程（1-a）x²+2ax+2-3a=0至少有一個(gè)正根，則a∈

（

2

3

，2]

．

Answer 1

分析：①當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù) 1-a=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．②當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù) 1-a≠0時(shí)，則有△≥0，分兩個(gè)根一個(gè)為正數(shù)另一個(gè)是非負(fù)數(shù)，和兩個(gè)根一正、一負(fù)根兩種情況，
分別求得a的取值范圍．綜合①②，把得到的a的取值范圍再取并集，即得所求．

解答：解：①當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù) 1-a=0時(shí)，即a=1時(shí)，方程即 2x-1=0，解得x=

1

2

，故滿足條件．
②當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù) 1-a≠0時(shí)，即a≠1時(shí)，由判別式△=4a²-4（1-a）（2-3a）=-4（a-2）（2a-1）≥0，解得

1

2

≤a≤2．
若兩個(gè)根一個(gè)為正數(shù)另一個(gè)是非負(fù)數(shù)，則兩根之和

2a

a-1

＞0 且兩根之積

2-3a

1-a

≥0，解得a＜0，或a≥1．
綜合可得，1≤a≤2．
若方程有一正、一負(fù)根，則兩根之積

2-3a

1-a

＜0，解得

2

3

＜a＜1．
綜合可得，

2

3

＜a＜1．
綜合①②可得，a的取值范圍為（

2

3

，2]，
故答案為 （

2

3

，2]．

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．