Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求證：AB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大小；
（Ⅲ）求異面直線AC與BD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一：
（1）根據平面與平面垂直的性質定理可得：CD⊥面ABC，所以DC⊥AB．
（2）由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．二面角的度量關鍵在于找出它的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線法．過點C作CM⊥AB于M，連接DM．所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．
（3）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數法和幾何法求解．取三邊AB、AD、BC的中點M、N、O，連接AO、MO、NO、MN、OD，則OM∥AC，；MN∥BD，．
∴∠OMN是異面直線AC與BD所成的角或其補角．
解法二：
以點O為原點，OM所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
（1）設CD=1，則O（0，0，0），，，，．故由得：，即AB⊥CD．
（2）由CD⊥平面ABC得，平面ABC的法向量為，設平面ABD的法向量為，所以這兩個法向量的夾角的大小（正值）即為二面角D-AB-C的大小；
（3）因為，，故異面直線AC和BD所成角的大小即為的夾角的大小．
解答：解法一：
（Ⅰ）證明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥面ABC．（2分）
又∵AB?面ABC，
∴DC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）解：如圖，過點C作CM⊥AB于M，連接DM．

由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．
∴CM是斜線DM在平面ABC內的射影，
∴DM⊥AB．（三垂線定理）
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）
設CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得，BD=2．
∵△ABC是正三角形，
∴．
∴．
∴．
∴二面角D-AB-C的大小為．（9分）
（Ⅲ）解：如圖，取三邊AB、AD、BC的中點M、N、O，
連接AO、MO、NO、MN、OD，
則OM∥AC，；MN∥BD，．
∴∠OMN是異面直線AC與BD所成的角或其補角．（11分）
∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，．
又∵CD⊥面ABC，故．
在△OMN中，，MN=1，ON=1．
∴．
∴異面直線AC和BD所成角為．（14分）
解法二：
（Ⅰ）分別取BC、BD的中點O、M，連接AO、OM．
∵△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC．
∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD．
∵OM是△BCD的中位線，且CD⊥平面ABC，
∴OM⊥平面ABC．
以點O為原點，OM所在直線為x軸，OC所
在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間
直角坐標系．（2分）

設CD=1，則O（0，0，0），，，，．
∴，．（4分）
∴．
∴，即AB⊥CD．（6分）
（Ⅱ）∵CD⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量為．（7分）
設平面ABD的法向量為，
∴，．
∴，
即．，
即．
∴令，則x=-3，z=-1．
∴．（9分）

∴=．
∵二面角D-AB-C是銳角，
∴二面角D-AB-C的大小為．（11分）
（Ⅲ）∵，，
∴=．
∴異面直線AC和BD所成角為．（14分）
點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．