Question

（1）已知，求C₈^m；
（2）解方程C₁₆^x2-x=C₁₆^5x-5；
（3）計算C₁₀⁰+C₁₁¹+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁹．

Answer 1

解：（1）由已知得，
化簡得m²-23m+42=0，
解得m=2或21，
但0≤m≤5，故m=2．
∴．
（2）原方程可化為x²-x=5x-5或x²-x=16-（5x-5），
即x²-6x+5=0或x²+4x-21=0，
解得x=1或x=5或x=-7或x=3，
經檢驗x=5或x=-7不合題意，
故原方程的根為x=1或x=3．
（3）原式=（C₁₁⁰+C₁₁¹）+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁹=（C₁₂¹+C₁₂²）+…+C₁₀₀⁹⁹
=（C₁₃²+C₁₃³）++C₁₀₀⁹⁹=．
分析：（1）根據所給的組合數的算式，把算式分解，約分整理，得到關于m的一元二次方程方程，解方程得到兩個根，根據組合數的性質去掉不合題意的數字．
（2）把組合數分解，得到關于字母x的方程，是兩個方程，解兩個一元二次方程，得到四個結果，有兩個結果不合題意，舍去．
（3）本題所給的一系列組合數的加法運算，遇到這種題目，一般考慮用組合數的性質，把前兩項用組合數的性質，得到一個組合數，再把得到的結果和第三項用組合數的性質，以此類推，得到結果．
點評：本題是排列和組合數的運算，根據排列和組合的公式，寫出算式，通過加減乘運算，得到結果，這類問題有一大部分是考查排列和組合的性質的，本題是一個簡單的運算．