Question

（1）試討論方程（1-k）x²+（3-k²）y²=4（k∈R）所表示的曲線；
（2）試給出方程

x2

k2+k-6

+

y2

6k2-k-1

=1表示雙曲線的充要條件．

Answer 1

分析：（1）分 3-k² ＞1-k＞0、1-k＞3-k²＞0、1-k=3-k²＞0、（1-k）（3-k²）＜0、（1-k）（3-k²）=0這幾種情況進行討論．
（2）方程表示雙曲線的充要條件是：（k²+k-6）（6k²-k-1）＜0，解不等式求出 k的取值范圍．

解答：解：（1）當3-k²＞1-k＞0，即 k∈（-1，1），方程所表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓；
1-k＞3-k²＞0，即 k∈（-

3

，-1），方程所表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓；
1-k=3-k²＞0，即 k=-1時，表示的是一個圓；
（1-k）（3-k²）＜0?k∈（-∞，-

3

）∪（1，

3

），表示的是雙曲線；
k=1，k=-

3

，表示的是兩條平行直線； k=

3

，表示的圖形不存在．
（2）由（k²+k-6）（6k²-k-1）＜0得 （k+3）（k-2）（3k+1）（2k-1）＜0，
即 k∈（-3，-

1

3

）∪（

1

2

，2）．

點評：本題考查二元二次方程表示的曲線類型，橢圓、圓、雙曲線、直線的方程的特征，體現了分類討論的數學思想．