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已知A、B是拋物線y2=2px（p＞0）上兩點，O為原點，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點，則直線AB的方程是    ．
【答案】分析：由條件知A、B關于x軸對稱，設出坐標，應用△的垂心到定點的連線與對邊垂直，斜率之積等于-1，求出A、B坐標，問題解決．
解答：解：由A、B是拋物線y2=2px（p＞0）的兩點，|AO|=|BO|，及拋物線的對稱性知，A、B關于x軸對稱．
設直線AB的方程是 x=m，則  A（ m，）、B（m，-）
|△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點F（，0 ）
∴AF⊥OB，KAF•KOB=-1，
∴•=-1
∴m=，∴直線AB的方程是 x=
點評：考查拋物線的對稱性及三角形垂心性質．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（II）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的距離的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩點，F為拋物線的焦點，l為拋物線的準線．
（1）若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；
（2）若
OA
•
OB
+p2=0（A、B異于原點），直線OB與過A且垂直于X軸的直線m相交于P點，求P點軌跡方程；
（3）若直線AB過拋物線的焦點，分別過A、B點的拋物線的切線相交于點T，求證：
AT
•
BT
=0，并且點T在l上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•青浦區二模）（理）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0=5，試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•青浦區二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l1，與過點B且斜率為1的直線l2相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點的橫坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩個動點，O為坐標原點，非零向量
OA
， 
OB
滿足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|．
（Ⅰ）求證：直線AB經過一定點；
（Ⅱ）當AB的中點到直線y-2x=0的距離的最小值為
2
5
5
時，求p的值．

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同步練習冊答案
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