Question

（本題滿分14分）如圖多面體PQABCD由各棱長均為2的正四面體和正四棱錐拼接而成

(Ⅰ)證明PQ⊥BC；

(Ⅱ)若M為棱CQ上的點且,  

求的取值范圍，使得二面角P-AD-M為鈍二面角。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；  （Ⅱ） 

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中的線線垂直的證明，以及二面角的求解的綜合運用。

（1）取AD中點E，連結(jié)PE,QE      ……...2分

均為正三角形得到線線垂直，然后利用線面垂直得到線線垂直的性質(zhì)定理和判定定理的綜合運用。

（2）以正方形ABCD的中心O為原點，OF(F為AB的中點)為x軸，OQ為z軸，

建立空間坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，然后借助于向量的夾角公式表示二面角的平面角的大小。

解：（Ⅰ）取AD中點E，連結(jié)PE,QE      ……...2分

均為正三角形

  ADPE, ADQE

   AD平面PEQ

        ADPQ    又AD//BC

     PQBC                             。。。。。。。。。6分

  （Ⅱ）以正方形ABCD的中心O為原點，OF(F為AB的中點)為x軸，OQ為z軸，

建立空間坐標(biāo)系，  則P(0，-2，),  Q(0,0,),  B(1,1,0),  C(-1,1,0), 

A(1，-1,0),  D(-1，-1,0)                。。。。。。。。。。8分

平面PAD法向量=（0，，1）     。。。。。。。。。。10分

=(0,2,0)， 

平面ADM的法向量 。。。。。。。。。12分

  

                          。。。。。。。。。。。14分