Question

已知函數f（x）=x+

1

x

．
（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數；
（3）寫出函數f（x）在整個定義域上的單調區間．（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷、證明；
（2）設x₁，x₂∈（0，1）且設x₁＜x₂，根據減函數的定義利用作差證明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（3）可以根據函數圖象直接寫出；

解答：解：（1）函數為奇函數，
證明：因為f（x）的定義域為{x|x≠0}，
且f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
所以f（x）為奇函數；
（2）設x₁，x₂∈（0，1）且設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數f（x）在（0，1）上是減函數．
（3）函數f（x）在（-∞，-1）上是增函數，在（-1，0）上是減函數，
在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的判斷證明，屬基礎題，定義是解決該類問題的基本方法．