Question

已知函數f（x）=x•e^x+ax²+bx在x=0和x=1時都取得極值．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）若存在實數x∈[1，2]，使不等式f(x)≤

1

2

x2+(t-1)x成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導f′（x），由f（x）在x=0和x=1時取得極值，得f′（x）=0，f′（1）=0，聯立方程解出即可，注意檢驗；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知不等式f(x)≤

1

2

x2+(t-1)x成立可化為e^x-ex-t≤0成立，令g（x）=e^x-ex-t，問題轉化為g（x）_最小≤0，利用導數即可求得g（x）在[1，2]上的最小值；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+xe^x+2ax+b，
因為f（x）在x=0和x=1時取得極值，
所以有

f′(0)=0 f′(1)=0

，即

1+b=0 e+e+2a+b=0

，解得

b=-1 a= 1 2 -e

，經檢驗符號條件，
故a=

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2

-e，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=xex+

1

2

x2-ex2-x，
即存在實數x∈[1，2]，使xe^x-ex²-tx≤0成立，即e^x-ex-t≤0，
令g（x）=e^x-ex-t，則g′（x）=e^x-e≥0恒成立，
所以g（x）在[1，2]上單調遞增，∴g（x）_最小=g（1）=e-e-t≤0，
∴t∈[0，+∞）

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件及函數恒成立問題，本題（Ⅱ）問屬于“能成立”問題，往往轉化為函數最值問題解決．