Question

已知二次函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），且函數(shù)y=f(x-

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)是偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=f(x-

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)是偶函數(shù)可求得二次函數(shù)f（x）的對稱軸方程，從而可求得b；
（2）先把g（x）化為分段函數(shù)，作出g（x）的圖象，借助圖象可直接求得在[t，2]上的最大值，分情況討論可得g（x）的最小值；

解答：解 （1）因為函數(shù)y=f(x-

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)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對稱軸方程為x=-

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，故b=1．
又因為二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式為f（x）=x²+x+11．
（2）g（x）=（x-2）|x|，
當x≤0時，g（x）=-（x-1）²+1，當x＞0時，g（x）=（x-1）²-1，作出g（x）的圖象，如下圖所示：
由圖象知，g（x）在[t，2]上的最大值g_max（x）=0，
當1≤t＜2時，g_min（x）=t²-2t；當1-

2

≤t＜1時，g_min（x）=-1；當t＜1-

2

時，g_min（x）=-t²+2t；
故g（x）在[t，2]上的最大值為0；最小值g_min（x）=

t2-2t，1≤t＜2 -1，1- 2 ≤t＜1 -t2+2t，t＜1- 2

．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．