Question

設函數f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定義域是R，求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域是R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 u=ax²+2x+1＞0恒成立，可得

a＞0 △=4-4a＜0

，解得 a＞1，由此求得實數a的取值范圍．
（2）若f（x）的值域是R，則函數 u=ax²+2x+1能夠取遍所有的正數，分a＜0、a=0、a＞0三種情況，分別求得實數a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）若f（x）=lg（ax²+2x+1）的定義域是R，∴u=ax²+2x+1＞0恒成立．
當 a=0或a＜0不合題意，∴

a＞0 △=4-4a＜0

，解得 a＞1，故實數a的取值范圍是（1，+∞）．
（2）若f（x）的值域是R，則函數 u=ax²+2x+1能夠取遍所有的正數．
當a＜0時不合題意；a=0時，u=2x+1，u能取遍一切正實數．
a＞0時，由其判別式△=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．
綜上可得，當0≤a≤1時f（x）的值域是R．

點評：本題主要考查函數的定義和值域，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．