Question

求滿足下列條件的曲線方程：
（1）經過兩點的橢圓的標準方程；
（2）與雙曲線有公共漸近線，且經過點（-3，2）的雙曲線的標準方程；
（3）焦點在直線x+3y+15=0上的拋物線的標準方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓方程，代入點的坐標，建立方程組，即可求得橢圓的標準方程．
（2）據共漸近線的雙曲線的方程的一般形式設出雙曲線的方程，將點的坐標代入求出待定系數λ，即得到要求的雙曲線方程．
（3）分焦點在x軸和y軸兩種情況分別求出焦點坐標，然后根據拋物線的標準形式可得答案．
解答：解：（1）依題意，可設橢圓的方程為 =1（m＞0，n＞0），則
∴橢圓經過兩點，
∴且
∴m=15，n=5
∴經過兩點的橢圓的標準方程為；
（2）設所求雙曲線的方程為 （λ≠0），
將點（-3，2）代入得λ=，
所求雙曲線的標準方程為 ；
（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15；
∴拋物線的焦點坐標為：（-15，0），（0，-5）
當焦點為（-15，0）時，即 =15，
∴p=30，此時拋物線方程為：y²=-60x：
當焦點為（0，-5）時，即 =5，
∴p=10，此時拋物線方程為：x²=-20y；
故所求拋物線的標準方程為：y²=-60x 或x²=-20y．
點評：本題考查圓錐曲線的標準方程和簡單性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．