Question

（1）如圖1所示，請證明拋物線的一個幾何性質：過拋物線y²=4x的焦點F任作直線l與拋物線交于A，B兩點，則在x軸上存在定點M（-1，0），使直線MF始終是∠AMB的平分線；
（2）如圖2所示，對于橢圓，設它的左焦點為F；請寫出一個類似地性質；并證明其真假．

Answer 1

解：（1）設直線l的方程為y=k（x-1）（k不存在時，顯然成立）
則得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0∴x₁x₂=1，
∵；
∴直線MF始終是∠AMB的平分線．
（2）過橢圓的左焦點F（-2，0）任作直線l與橢圓交于A，B兩點，則在x軸上存在定點，使直線MF始終是∠AMB的平分線；
證明如下：設直線l的方程為y=k（x+2），（k不存在時，顯然成立）；
由，得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0；∴，設M（t，0），則；
將根與系數的關系式代入，得4t+10=0，即得點．
分析：（1）設直線l的方程為y=k（x-1），則由方程組得關于x的一元二次方程，由根與系數的關系得x₁+x₂，x₁x₂，從而得直線MA，MB的斜率之和為0，即得直線MF平分∠AMB．
（2）同（1）類似，過橢圓的左焦點F（-2，0）任作直線l與橢圓交于A，B兩點，則在x軸上存在定點M，使直線MF始終平分∠AMB；證明與（1）相同，求出點M的坐標即可．
點評：本題考查了直線與拋物線、橢圓的綜合應用問題，也考查了類比推理的數學方法；解題時應靈活應用，細心解答．