Question

已知直線mx-y+1=0交拋物線y=x²于A、B兩點，則△AOB（　　）

• A、為直角三角形
• B、為銳角三角形
• C、為鈍角三角形
• D、前三種形狀都有可能

Answer 1

分析：根據A和B都為拋物線上的點，設出A和B的坐標，把直線與拋物線解析式聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出兩根之積，然后利用A和B的坐標表示出

OA

和

OB

，利用平面向量的數量積運算法則，計算得出

OA

•

OB

為0，從而得出兩向量互相垂直，進而得到三角形為直角三角形．

解答：解：設A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
將直線與拋物線方程聯立得

mx-y+1=0 y=x2

，
消去y得：x²-mx-1=0，
根據韋達定理得：x₁x₂=-1，
由

OA

=（x₁，x₁²），

OB

=（x₂，x₂²），
得到

OA

•

OB

=x₁x₂+（x₁x₂）²=-1+1=0，
則

OA

⊥

OB

，
∴△AOB為直角三角形．
故選A

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有韋達定理，平面向量的數量積運算，以及兩向量垂直時滿足的條件，曲線與直線的交點問題，常常聯立曲線與直線的方程，消去一個變量得到關于另外一個變量的一元二次方程，利用韋達定理來解決問題，本題證明垂直的方法為：根據平面向量的數量積為0，兩向量互相垂直．