Question

【題目】如圖，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直徑，C是☉O上的一點，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，給出下列結論：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的個數是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】因為PA⊥☉O所在的平面，BC☉O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC，故①正確；又因為AF平面PAC，所以AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PCB，故②正確；而PB平面PCB，所以AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，而EF平面AEF，所以EF⊥PB，故③正確；因為AF⊥平面PCB，假設AE⊥平面PBC，所以AF∥AE，顯然不成立，故④不正確;故選C.

點睛:本題考查線面垂直的判定定理和線面垂直的性質定理,屬于中檔題.根據線面垂直的判定,可證出BC垂直于平面PAC,從而AF垂直于BC,結合已知條件得出AF垂直于平面PCB,最后可證明出PB垂直于平面AEF,從而得到EF垂直于PB,因此可知命題①②③正確,得出正確選項.