Question

已知函數f（x）=ln（1+x）+a（x+1）²（a＜0且a為常數）在x=1處有極大值．
（Ⅰ）試確定實數a的值；
（Ⅱ）判斷方程f（x）=0在區間（0，3）內實數根的個數并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，f′（1）=

1

2

+4a=0，可求得a=

1

8

，再利用極大值的條件去驗證“在x=1處有極大值”；
（Ⅱ）由（1）可知，函數f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，3）上為減函數，求得f（0），f（1），f（3）的值，利用零點存在定理即可判斷方程f（x）=0在區間（0，3）內實數根的個數．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

1+x

+2a（x+1），又f（x）在x=1處有極大值，
∴f′（1）=

1

2

+4a=0，
∴a=

1

8

．此時，f（x）=ln（1+x）-

1

8

（x+1）²，
f′（x）=

1

1+x

-

x+1

4

=

3-2x-x2

4(1+x)

=-

(x+3)(x-1)

4(1+x)

，
-1＜x＜1時，f'（x）＞0，x＞1時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數，
∴f（x）在x=1處有極大值，故a=

1

8

．…（6分）
（Ⅱ）由（1）可知，函數f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，3）上為減函數，
且f（0）=-

1

8

＜0，f（1）=ln2-

1

2

＞0，f（3）=ln4-2＜0，，
所以方程f（x）=0在區間（0，3）內實數根有兩個…（12分）

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，考查根的存在性及根的個數判斷，考查分析，轉化及運算能力，屬于中檔題．