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設P(a,b)、R(a,2)為坐標平面xoy上的點,直線OR(O為坐標原點)與拋物線交于點Q(異于O).
(1)若對任意ab≠0,點Q在拋物線y=mx2+1(m≠0)上,試問當m為何值時,點P在某一圓上,并求出該圓方程M;
(2)若點P(a,b)(ab≠0)在橢圓x2+4y2=1上,試問:點Q能否在某一雙曲線上,若能,求出該雙曲線方程,若不能,說明理由;
(3)對(1)中點P所在圓方程M,設A、B是圓M上兩點,且滿足|OA|•|OB|=1,試問:是否存在一個定圓S,使直線AB恒與圓S相切.
【答案】分析:(1)把直線方程與拋物線方程聯立求得交點Q的坐標,代入y=mx2+1,求得a和b的關系式,進而判斷出當m=1時,點P(a,b)在圓M:x2+(y-1)2=1上
(2)設,進而根據點Q的坐標,求得y2Q-mx2Q=16,進而判斷出,點Q在雙曲線y2-4x2=16上.
(3)設AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),進而根據|OA|•|OB|=1,求得y2•y1,進而把直線與圓方程聯立,求得y2•y1,進而根據原點O到直線AB距離求得d,進而判斷出直線AB恒與圓相切.
解答:解:(1)∵
代入⇒ma2+b2-2b=0
當m=1時,點P(a,b)在圓M:x2+(y-1)2=1上
(2)∵P(a,b)在橢圓x2+4y2=1上,即a2+(2b)2=1
∴可設
又∵
=(令m=4)
∴點Q在雙曲線y2-4x2=16上
(3)∵圓M的方程為x2+(y-1)2=1
設AB:x=ky+λ,A(x1,y1),B(x2,y2),由|OA|•|OB|=1
又∵⇒(k2+1)y2+2(kλ-1)y+λ2=0,

又原點O到直線AB距離
,即原點O到直線AB的距離恒為
∴直線AB恒與圓相切.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.直線與圓錐曲線的綜合問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力,因此倍受高考命題人的青睞.
練習冊系列答案
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4ab
x
交于點Q(異于O).
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