Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（ ，1），且離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為﹣ ，若動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，試探究，是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1 ， F2 ， 使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1 ， F2的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（ ，1），且離心率為 ，
∴ ，解得a=2，b= ，
∴橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
則由 ，得x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ，
∵M(jìn)，N都在橢圓 上，
∴ ，
∴ （ ）
=（ ）+4（ ）+4（x1x2+2y1y2）
=20+4（x1x2+2y1y2），
設(shè) =﹣ ，∴x1x2+2y1y2=0，
∴x2+2y2=20，∴點(diǎn)P是橢圓 上的點(diǎn)，
∴由橢圓的定義知存在點(diǎn)F1 ， F2 ， 滿足|PF1|+|PF2|=2 =4 為定值，
又∵|F1F2|=2 =2 ，
∴F1 ， F2的坐標(biāo)分別為F1（﹣ ，0），F(xiàn)2（ ，0）
【解析】（Ⅰ）由橢圓經(jīng)過點(diǎn)（ ，1），且離心率為 ，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）由 ，得x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ， 由M，N都在橢圓 上，設(shè) =﹣ ，得到點(diǎn)P是橢圓 上的點(diǎn)，由此能求出F1 ， F2的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．