Question

已知F₁、F₂是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是以F₁和F₂為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，并且PF₁⊥PF₂，e₁和e₂分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有（　　）

• A、e₁²+e₂²=2
• B、e₁²+e₂²=4
• C、

  1

  e 2 1

  +

  1

  e 2 2

  =2
• D、

  1

  e 2 1

  +

  1

  e 2 2

  =4

Answer 1

分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到結(jié)論

解答：解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
將④代入③得a²+m²=2c²，即

1

c2 a2

+

1

c2 m2

=2，即

1

e 1 2

+

1

e 2 2

=2
故選C

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用勾弦定理建立三個(gè)方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．