Question

已知函數f（x）=

x2

1+x2

（1）求f（2），f（

1

2

），f（3），f（

1

3

）
（2）由（1）中求得結果，你能發現f（x）與f（

1

x

）有什么關系？并證明你的發現；
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2011

）

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

x2

1+x2

即可求得f（2），f（

1

2

），f（3），f（

1

3

）；
（2）根據f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1可得f（x）+f（

1

x

）=1，然后代入解析式進行證明即可；
（3）根據f（x）+f（

1

x

）=1，從而可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2011

）的值．

解答：解：（1）f（2）=

4

5

，f（

1

2

）=

1

5

f（3）=

9

10

，f（

1

3

）=

1

10

（2）f（x）+f（

1

x

）=1
證：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2011

）
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（2011）+f（

1

2011

）]
=

1

2

+2010
=2010.5

點評：本題考查函數的值，考查數列的求和，求得f（x）+f（

1

x

）=1是關鍵，考查分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．